题目来源：

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题意分析:

     这道题目是输入两个已经排好序的数组（长度为m,n），将这两个数组整合成一个数组，输出新数组的中位数。要求时间复杂度是（log（m + n）。比如如果输入[1,2,3]，[3,4,5]。那么得到的新数组为[1,2,3,3,4,5]得到的中位数就是3.

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题目思路：

     由于题目要求的时间复杂度是（log（m+n))，如果我们直接把两个数组整合一起，那么时间复杂度肯定超过（log（m+n））。所以整理肯定是不行的。那么还有什么方法吗？答案是肯定的。

     首先我们要先了解中位数的概念，中位数就是有序数组的中间那个数。那么如果我们将比中位数小的数和比中位数大的数去掉同样的个数，中位数的值也不会变化（数组的个数为偶数的时候另外讨论，因为那时候中位数是中间两个数的平均值，所以中位数旁边两个数不能去掉）。

     所以我们不妨试着将数组长度不断缩短。这里不妨提出一个引理。假设有两个有序数组a_m，b_n，他们整合后的有序数组为c_n+m。他们的中位数分别是a_m/2,b_n/2,c_(m+n)/2。如果a_m/2 < b_n/2,则 a_0…m/2 <= c_(m+n)/2 <= b_{n/2…n 。}

     引理证明：

           假设 a_m/2 > c_(m+n)/2 ，那么 b_n/2  > c_(m+n)/2，所以在数组a_m里有大于m/2个数大于c_(m+n)/2，在数组b_n里也有n/2个数大于c_(m+n)/2

           也就是说在c_n+m里有（m+n）/2个数大于c_(m+n)/2，此时就c_(m+n)/2不再是数组c_n+m的中位数。

           所以a_0…m/2 <= c_(m+n)/2。

           同理可得c_(m+n)/2 <= b_n/2…n 。

    根据上述引理，我们不妨设m>n，那么我们根据判断两个数组的中位数大小，每个数组每次减少n/2长度，直到n为1。如此，我们通过减少log（n）次可以得到答案。这种方法的时间复杂度是（log（min（m,n）））。

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代码（python）：

1 class Solution(object): 2     def getMedian(self,nums): 3         size = len(nums) 4         if size == 0: 5             return [0,0] 6         if size % 2 == 1: 7             return [nums[size // 2],size // 2] 8         return [(float(nums[size // 2 - 1] + nums[size // 2])) / 2,size // 2] 9         10     def findMedianSortedArrays(self, nums1, nums2):11         """12         :type nums1: List[int]13         :type nums2: List[int]14         :rtype: float15         """16         size1 = len(nums1)17         size2 = len(nums2)18         if size1 < size2:19             return self.findMedianSortedArrays(nums2,nums1)20         m1 = self.getMedian(nums1)21         m2 = self.getMedian(nums2)22         if size2 == 0:23             return m1[0]24         if size2 == 1:25             if size1 == 1:26                 return (float(nums1[0] + nums2[0])) / 227             if size1 % 2 == 0:28                 if nums2[0] < nums1[size1 //2 - 1]:29                     return nums1[size1 // 2 - 1]30                 if nums2[0] > nums1[size1 // 2 ]:31                     return nums1[size1 // 2]32                 else:33                     return nums2[0]34             else:35                 if nums2[0] < nums1[size1 // 2 - 1]:36                     return (float(nums1[size1 // 2 - 1] + nums1[size1 // 2])) / 237                 if nums2[0] > nums1[size1 // 2 + 1]:38                     return (float(nums1[size1 // 2] + nums1[size1 // 2 + 1])) / 239                 else:40                     return (float(nums2[0] + nums1[size1 // 2])) / 241         if size2 % 2 == 0:42             if size1 % 2 == 0:43                 if nums2[size2 // 2 - 1] < nums1[size1 //2 - 1] and nums2[size2 // 2] > nums1[size1 // 2]:44                     return m1[0]45                 if nums1[size1 // 2 - 1] < nums2[size2 // 2 - 1] and nums1[size1 // 2] > nums2[size2 // 2]:46                     return m2[0]47         if m1[0] < m2[0]:48             return self.findMedianSortedArrays(nums1[m2[1]:],nums2[:size2 - m2[1]])49         if m1[0] > m2[0]:50             return self.findMedianSortedArrays(nums1[:size1 - m2[1]],nums2[m2[1]:])51         else:52             return m1[0]

 

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PS：当两个数组长度都是偶数的时候，由于中位数和中间两个数相关，如果直接删减有可能把中位数的数值发生改变，比如：[1,6],[4,5]，这种情况如果用上述算法，那么先得到[1],[4]最后得到2.5，然后最后答案应该是4.5，所以这种情况要另外讨论。

      还有，用python3.0要注意语法的不同，因为判断系统是用2.7的算法。3.0的’/’默认是浮点数，而在‘2.7’如果原来是整型的时候是整除。

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